Satunnaismuuttujien ja funktion odotusarvo
Diskreetin satunnaismuuttujan , jonka otosavaruus on ja tiheysfunktio , odotusarvo (mean, expected value) , varianssi (variance) ja keskihajonta (standard deviation) ovat
| Kasino | Talletusbonus | Go |
|---|---|---|
 | ✓Päihitä kertoimet: 100 % bonuksella 200 € asti ✓Suomi-lokalisoitu ✓Estonian lisenssi | Siirry sivulleWinnerz Kasino |
 | ✓Yli 3000 huippupeliä ✓Tyylikäs pikakasino ✓Nopeat rahansiirrot | Siirry sivulleBoostCasino |
 | ✓Yli 3000 suosikkipeliä ✓Maltan pelilisenssi - ei veroja! ✓Perinteinen rekisteröintikasino | Siirry sivulleNettiCasino |
 | ✓Verovapaa pikakasino ✓Ninja Stars -palkintosysteemi ✓Nykyään Viron pelilisenssi | Siirry sivulleNinjaCasino |
 | ✓Yli 3000 suosikkipeliä ✓Maltan pelilisenssi - ei veroja! ✓Perinteinen rekisteröintikasino | Siirry sivulleOptiBet |
 | ✓ | Siirry sivulleBet'n'play Kasino |
 | ✓ | Siirry sivullePlatinCasino Kasino |
 | ✓ | Siirry sivulleLuckyCircus Kasino |
 | ✓Curacao lisenssi | Siirry sivulleNinlay Kasino |
Satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumia voidaan luonnehtia erilaisin tunnusluvuin. Pelkästään jakauman tyypin ja sen tunnuslukujen avulla voidaan tehdä hyödyllisiä johtopäätöksiä tarkasteltavasta satunnaiskokeesta. Tavallisimmat jakauman sijaintia kuvaavat tunnusluvut ovat odotusarvo, varianssi ja keskihajonta. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan, kun taas varianssi ja keskihajonta mittaavat jakauman hajaantumisen suuruutta.
Jos otosavaruudessa on ääretön määrä alkioita, on tunnusluku olemassa vain, kun sen määrittelevä sarja suppenee ja summa on termien järjestyksestä riippumaton. Diskreetin muuttujan odotusarvo on mahdollisten arvojen todennäköisyyksillään painotettu keskiarvo. Varianssi taas on odotusarvosta laskettujen neliöityjen poikkeamien todennäköisyyksillä painotettu keskiarvo.
Jos ovat satunnaismuuttujia, sekä , niin odotusarvo
Todennäköisyysjakaumalla ei välttämättä ole olemassa odotusarvoa, jos jakauma ei toteuta niin sanottua itseistä satunnaismuuttujan odotusarvoa ()
Fysikaalisesta näkökulmasta satunnaismuuttujan odotusarvolla ja varianssilla on seuraavanlaiset tulkinnat. Jos ajatellaan, että yhden yksikön verran “todennäköisyysmassaa” on jaettu otosavaruuden pisteisiin lukusuoralla pistetodennäköisyyden verran, niin odotusarvo ilmoittaa kyseisen lukusuoran massakeskipisteen ja varianssi sen hitausmomentin massakeskipisteakselin suhteen.
tarkoitetaan todennäköisyyslaskennassa pistetodennäköisyysfunktion pylväikköä tai tiheysfunktion kuvaajan alle jäävää aluetta. Odotusarvo on sellainen satunnaismuuttujan arvo, joka vastaa tämän alueen . Symmetrisen jakauman keskikohta on myös jakauman odotusarvo.
Satunnaismuuttujan jakaumaan liittyy pari sen reaaliakselille sijoittumista kuvaavaa tunnuslukua, nimittäin odotusarvo ja keskihajonta. Satunnaismuuttujan odotusarvo on sen todennäköisyyksillä painotettu keskiarvo, ts.
ja lineaarikombinaatioiden odotusarvo on
On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio ehdollistettavasta muuttujasta. Ehdollinen odotusarvo ehdolla on , missä on reaaliluku.
Laske odotusarvot , , ja . Ovatko ja riippumattomia?
pätee kaikilla . Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja on , missä tarkoittaa satunnaismuuttujan virittämää sigma-algebraa.
Edelleen odotusarvon lineaarisuuden vuoksi
Satunnaismuuttujan sanotaan olevan integroituva, jos sen odotusarvo on äärellinen eli . Jos se ei ole integroituva, on se vielä kvasi-integroituva, jos tai .
[PDF] Satunnaismuuttujan odotusarvo
Vedonvälittäjän tarjoama palautusprosentti kertoo yksinkertaistettuna sen, millaista odotusarvoa keskimääräinen pelaaja voi vedoiltaan keskimäärin odottaa. Lähtökohtaisesti isoimmat vedonvälittäjät tarjoavat kohteita pyöreästi 0,98 odotusarvolla, mutta on varsin yleistä että joillain yhtioillä palautusprosentti on 90% paikkeilla (odotusarvo 0,90). Tuo tarkoittaisi sitä, että jokaista 10 euron vetoa kohti häviäisit pitkässä juoksussa keskimäärin aina euron, melkoisen paljon siis.
Vedonvälittäjän tarjoaman palautusprosentin voi laskea helposti seuraavalla kaavalla:
✅ 1 / (1/kotivoiton kerroin + 1/tasapelin kerroin + 1/vierasvoiton kerroin)
Tai esimerkiksi, jos tarjolla on vain kaksi tulosvaihtoehtoa, niin alla olevalla tavalla tasapelivaihtoehdon poisjättäen. Jos NY Rangersin voittokerroin jatkoajat ja rankkarit huomioiden on 1,85 ja vastustaja Boston Bruinsin kerroin 2,05, niin vedonvälittäjän palautusprosentti lasketaan seuraavasti:
4.1 Odotusarvo, varianssi ja keskihajonta
Heitettäessä noppaa neljästi olkoon saatujen kuutosten lukumäärä. Tiheysfunktion arvot on taulukoitu esimerkissä . Odotusarvoksi saadaan siten
4.3 Useamman satunnaismuuttujan funktion odotusarvo
Vedon odotusarvo kertoo, kuinka paljon keskimäärin odotamme voittavamme vedosta. Täten sen laskeminen on kaikkein tärkein toimenpide, jonka vedonlyöjä voi tehdä pelikohteita valittaessa. Tässä artikkelissa käymme läpi miten odotusarvo lasketaan ja selvitämme millaisin palautusprosentein vedonvälittäjät tarjoavat kohteitaan.
